過去の出題内容

年度	番号	内容
11	第1問	円の中心、および、円と直線の2交点とで作られる三角形の面積が最大となるときの直線の傾きを求める。
	第2問	逆数の小数部分の作る数列について、主に定数数列となる条件を求め、初項が有理数の小数部分の場合に途中から0になることを論証する。（理文一部共通の問題）
	第3問	曲線を媒介変数表示して、曲線の長さを表す定積分を計算し、極限を求める。
	第4問	放物線上に頂点をもつ二等辺三角形の底辺の両端が動くときの、重心の軌跡を求める。（理文共通の問題）
	第5問	ある不等式の条件を満たす整数の組を（p、q）パターンと呼び、それがある特定の条件を満たすときの個数を求める。（理文一部共通の問題）
	第6問	2次関数の最大値と最小値の差を求め、それに関連する条件を満たす領域を図示し、さらにある条件を満たす立体の体積を求める。
10	第1問	直方体の90°回転による通過点全体 の体積と,３辺の和が1のときの体積 の値域を求める。
	第2問
	第3問	2つの箱の間でボールを移動する操 作をくり返した後の確率について，漸 化式を作り確率を求める。 （理文一部共通の問題）
	第4問
	第5問	円周上を一定の速さで動く3点が直 角二等辺三角形を作る条件を求める。 （理文共通の問題）
	第6問	4つの面がすべて合同な四面体の，1つ の面に垂直な平面による断面積とその 最大値を求める。
09	第1問	二項係数の有限列の最大公約数と素数に関する論証。（理文一部共通の問題）
	第2問	行列の計算及び行列のｎ乗によって定義される数列の極限に関する論証。
	第3問	4色の玉が等確率で出る機械と3種類の操作について、反復試行の確率を求める。（理文共通の問題）
	第4問	空間に浮かぶ円板を回転してできる立体の体積とそれに関連する極限を求める。
	第5問
	第6問	ベクトルの設定された巨大な正三角形の各頂点から速さ１で直進する、3動点間の距離に関する論証。
08	第1問	1次変換によってうつる領域の列の共通部分を図示する。
	第2問	白黒の色をとりかえる操作を繰り返し、初めて同色になる確率を求める。（理文類似の問題）
	第3問	正八面体を、対面の重心を通る直線のまわりに回転してできる立体の体積を求める。
	第4問	放物線上の2動点を両端とする長さ一定の線分の中点のy座標の最小値を求める。
	第5問	数字の1が個及びn個並んだ自然数の剰余に関する論証。
	第6問	x=cos2t，y=tsint（0≦t≦2π）で表される曲線が囲む領域の面積を求める。
07	第1問
	第2問	相似な三角形の列の、辺の長さの和の極限を求める。
	第3問	放物線弧上の2動点を両端とする線分を1:2に内分する点の動く範囲を求める。
	第4問
	第5問	ブロック積みゲームの最後の高さがどうなるかに関する確率の問題。（理文共通の問題）
	第6問	定積分の不等式の証明と、それを利用して0.68＜log2＜0.71を示す問題。

入試対策

1 高校の教科書の各章をしっかり勉強するだけでなく、
　　・中学で学んだ図形の知識のうち、大学入試にも役立つような事項
　　・教科書の章別ではとり上げる機会が少なく弱点になっている事項
　　・教科書ではいくつかの章にまたがるため、学習がおろそかな事項
　　・毎年のように出題される空間・平面図形とその体積・面積の問題
　 などを積極的に研究しておくのも、重要な対策の一つである。

2 記述力・論証力をつけるために、問題を解くときには、
　答を出すだけではなくて、論理的構成がはっきりするように書く
　ということをふだんから実行していなければならない。特に、近年証明問題は必ず出題され、数学の内容を日本語の文章として正しく述べることができるか否かも重視されている。

3 問題の難易度は毎年一定とは限らない。
　難しい問題が多ければ、各自の得点とともに平均点も下がることになる。したがって、完答できる問題が少なくてもあわててはいけない。自分のわかったところまでを明確に書いて、そこまでの部分点を確保することを心がけるのがよい。むしろ大切なのは、易しい問題を確実にものにすることである。ここでつまらぬ失敗をすると、正解に達する人が多いために、かなりの差をつけられてしまう。特に（1）、（2）等の小設問に分かれている場合、小設問ごとに得点できそうか否かの検討も大切になってくる。結局、“難しくてもあせらず、易しくてもあなどらず”、自分の力を出し切るようにするのが重要な対策である。
　理系志望であるからには、数学6問のうち
　　　　＜3問分の完答、残り3問分中の部分点確保＞
　を努力目標としてがんばりたい。

4 正統的な数学の学習をしよう。
　たとえば、1999年度の第1問のような三角関数を正しく学んでいれば“できて当然”の問題や、2002年度の第4問、第5問、2008年度の第4問のような数Ⅲの教科書レベルの問題、2009年度の第3問や2010年度の第6問(1)、2011年度の第6問(1)のようなセンターレベルの問題、2003年度の第6問や2004年度の第5問(2)の「円周率」という基本用語の根本理解に関する問題などは、解法テクニックの習得一辺倒の受験対策に対する、大学側からの警鐘といえるだろう。これに限らず東大の問題は、「数学的構成手法や概念の理解」をベースにして、「その場で自力解決できる能力」を鍛えること、換言すれば、小手先の技術ではなく、「本格的な実力」の養成を図ることが、最も重要な対策であることを示しているといえる。したがって、出そうな問題だけを反復練習したり、解き方を無闇に丸暗記するのではなく、上に記したような総合的観点のもとで、深い考察を積み重ねつつ、本質をつかみとる思考力と精密な論述力・計算力を、演習を通じて鍛えていくことが重要である。
　過去の東大入試問題の徹底的な研究は、最良の対策である。